자 연

(오후)

2015학년도 신입학 수시

논술 전형 / 사회기여자 전형

성명

지원 학부ㆍ학과

수험 번호

ㆍ답안지와 문제지에 성명, 지원 학부ㆍ학과, 수험 번호를 정확히 기입하세요.

ㆍ답안지에 답안 외에는 어떠한 표시도 하지 마세요.

ㆍ90분 안에 답안을 작성하세요.

ㆍ고사 종료 후 답안지와 문제지 및 연습지를 함께 제출하세요.

ㆍ감독자의 지시에 응하지 않으면 퇴실 요구를 받을 수 있습니다.

유의 사항

1. 답안지는 검정색 필기구(볼펜, 연필, 샤프)로만 작성하시오.

(빨강색, 파랑색 등 사용 금지)

2. 답안지를 수정할 경우 지우개(연필, 샤프)를 사용하거나, 가로로 줄을 긋

고(볼펜) 그 위에 다시 작성하시오.(수정테이프, 수정액 사용 금지)

3. 본 고사의 답안은 한 장 이내로 작성을 해야 하며, 답안지 교체는 가능하나

기존 답안지 제출은 절대 불가합니다.

4. 답안지 교체로 인한 책임(시간 부족 등)은 요청한 수험생에게 있습니다.

5. 다음 경우는 0점 처리됩니다.

1) 답안을 검정색 필기구로 작성하지 않은 경우

2) 자신의 신원을 드러내거나 답안과 관련 없는 표현이나 표기를 한 경우

3) 답안을 해당 답란에 작성하지 않은 경우

※감독의 지시가 있을 때까지 다음 장으로 넘기지 마시오.

이 면은 여백입니다.

자연 (오후)

논술 전형 / 사회기여자 전형

1

[문제 1] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

다음은 이차정사각행렬의 집합 [eqn: L`=` LEFT { LEFT . ` {pmatrix{``1&```0`#``k&```1`}} ` RIGHT | ``k는``실수 RIGHT }]에 대한 성질을 나열한 것이다.

<가> [eqn: A` IN `L]이면, [eqn: A ^{-1} IN `L]이다.

<나> [eqn: A,`B`` IN `L]이면, [eqn: AB`=BA]이다.

<다> [eqn: A,`B`` IN `L]이면, [eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) ^{2} =O`]이다.  (단, [eqn: O`]는 영행렬)

1-1. [eqn: A` IN `L]이면, [eqn: B ^{2} =A]인 [eqn: B``]가 집합 [eqn: L]의 원소임을 보이시오. [5점]

1-2. [eqn: A`=` {pmatrix{`1&```0`#`2&```1`}}], [eqn: B`=` {pmatrix{`1&```0`#`3&```1`}}], [eqn: C`=` {pmatrix{`1&```2`#`3&```4`}}]일 때, 다음을 만족하는 이차정사각행렬 [eqn: X`,``Y`]를 구하시오. [10점]

[eqn: AX`+BY`=C],  [eqn: BX`-AY`=O]

1-3. 임의의 [eqn: A` IN `L`]에 대하여, 행렬 방정식 [eqn: X ^{2} -AX-XA`-E``=O``]이 적어도 2개의 실행렬 [eqn: X`]를 해로

가짐을 보이시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이며, 실행렬은 성분이 실수인 행렬을 의미함) [15점]

1

3

2

논술 전형 / 사회기여자 전형

자연 (오후)

[문제 2] 다음 제시문 <가>∼<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 실수에서 정의된 연속함수 [eqn: q(x)]에 대해 다음 식이 성립한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF `} {` sum _{k=1} ^{n} `q LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} `= int _{0} ^{1} {q(x)dx}}]

<나> 이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포는 다음 형태로 주어진다. (단, [eqn: p _{i} GEQ 0])

[eqn: X]	[eqn: x _{1}]	[eqn: x _{2}]	[eqn: x _{3}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: x _{n}]	계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: p _{1}]	[eqn: p _{2}]	[eqn: p _{3}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: p _{n}]	[eqn: sum _{} ^{} `p _{i} =1]

<다> 함수 [eqn: f(x)=log _{2} `x`] ([eqn: x GEQ 1])의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { b _{m} RIGHT }]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: b _{m} =` lim _{n` -> ` INF `} {` sum _{k=1} ^{n}} ``g LEFT ( {n+mk-k} over {n} RIGHT ) {m-1} over {n}]  (단, [eqn: m]은 자연수)

2-1. 제시문 <다>에서 정의된 수열 [eqn: LEFT { b _{m} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: b _{m} = {2 ^{m} -2} over {ln2}]임을 보이시오. [10점]

2-2. 제시문 <다>에서 정의된 수열 [eqn: LEFT { b _{m} RIGHT }]으로부터 수열 [eqn: LEFT { a _{m} RIGHT }]의 일반항을 [eqn: a _{m} =`c(b _{m+1} -b _{m} )]으로 정의한다.

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포가 다음과 같이 주어질 때, 양의 상수 [eqn: c]를 구하시오. [10점]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2~]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 100]	계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: {1} over {a _{1}}]	[eqn: {1} over {a _{2}}]	[eqn: {1} over {a _{3}}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {a _{100}}]	[eqn: 1]

2-3. 문제 2-2에서 정의된 확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: E(X)]를 구하시오. [15점]

2

3

자연 (오후)

논술 전형 / 사회기여자 전형

3

[문제 3] 다음 제시문 <가>, <나>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 두 공간벡터 [eqn: vec{a} `], [eqn: vec{b} `]의 내적은 다음을 만족한다.

(1) 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: vec{a} `], [eqn: vec{b} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때,

[eqn: vec{a} CDOT vec{b} ``=` LEFT | vec{a} RIGHT | LEFT | vec{b} RIGHT | cos theta]

(2) [eqn: LEFT | vec{a} CDOT vec{b} RIGHT | ` LEQ LEFT | vec{a} RIGHT | LEFT | vec{b} RIGHT |]

<나> 아래 그림과 같이 구 [eqn: LEFT ( x-x _{0} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-y _{0} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-z _{0} RIGHT ) ^{2} =r ^{2} `]의 외부에 점 [eqn: rm A it LEFT ( x _{1} ,`y _{1} ,`z _{1} RIGHT )]가 있다.

이때 점 [eqn: rmA]에서 구에 그은 접선들의 접점으로 이루어진 원을 포함하는 평면의 법선벡터는

[eqn: vec{n} `= LEFT ( x _{1} -x _{0} ,``y _{1} -y _{0} ,``z _{1} -z _{0} ` RIGHT )]이다.

[eqn: rm A it LEFT ( x _{1} ,`y _{1} ,`z _{1} RIGHT )]

[eqn: rm C it LEFT ( x _{0} ,`y _{0} ,`z _{0} RIGHT )]

3-1. 점 [eqn: rm A LEFT ( sqrt {3} ,` sqrt {6} ,`4` RIGHT )]에서 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9]에 그은 접선들의 접점으로 이루어진 원을 포함하는 평면의

방정식을 구하시오. [10점]

3-2. 점 [eqn: rmQ]가 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =r ^{2} `]의 외부에 있다. 구 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: LEFT | vec{rm PQ it} RIGHT |]가 최소가 될 때,

벡터의 연산과 내적을 이용하여 [eqn: vec{rm OP it} `=`t `vec{rm OQ it}]임을 보이시오. (단, [eqn: rmO]는 구의 중심, [eqn: t]는 양의 상수) [10점]

3-3. 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`2,3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -2,`1,2 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( -1,`0,1 RIGHT )]가 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]의 외부에 있다. 구 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: LEFT | rm vec{PA} `+` vec{PB} `+ vec{PC} RIGHT |]의 최솟값과 이때 점 [eqn: rmP]를 구하시오. [15점]

3

3

이 면은 여백입니다.